高等代数循环行列式求值

高等代数循环行列式求值

题目
高等代数循环行列式求值
利用行列式乘法证明下列循环行列式之值等于f(w1)f(w2).f(wn),其中f(x)=a1+a2x+a3x^2+.+anx^n-1,而w1,w2,.,wn为1的全体n次复根:
a1 a2 a3.an
an a1 a2.an-1
an-1 an a1.an-2
.
a2 a3 a4.a1
顺便求一下,当ai=cos(ix)时行列式的值
答案
A=
a1 a2 a3 ... an
an a1 a2 ... an-1
an-1 an a1 ... an-2
... ...
a2 a3 a4 ... a1

设 V=
1 1 ... 1
ε1 ε2 ... εn
ε1^2 ε2^2 ... εn^2
ε1^n-1 ε2^n-1 ... εn^n-1

则 |A||V| = |AV| =
f(ε1) f(ε2) ... f(εn)
f(ε1)ε1 f(ε2)ε2 ... f(εn)εn
... ...
f(ε1)ε1^n-1 f(ε2)ε2^n-1 ... f(εn)εn^n-1

= f(ε1)f(ε2)...f(εn)|V|

由于 ε1,ε2,...,εn 两两不同, 所以 |V|≠0
所以 |A|=f(ε1)f(ε2)...f(εn).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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