函数f(x)=x2−2kx+k在[0,1]上的最小值为1/4,则k等于_.
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函数f(x)=x2−2kx+k在[0,1]上的最小值为1/4,则k等于_.
题目
函数f(x)=
x
答案
∵f(x)=x
2
-2kx+k=(x-k)
2
+k-k
2
,对称轴x=k
①当k≤0时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,当x=0时,函数有最小值f(0)=k=
1
4
,不符合题意
②当0<k<1时,函数f(x)在[0,k)单调递减,在(k,1]单调递增,当x=k时函数有最小值k-
k
2
=
1
4
,解可得k=
1
2
,符合题意
③当k≥1时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,当x=1时,函数有最小值f(1)=1-k=
1
4
,解可得k=
3
4
不符合题意
综上可得,k=
1
2
故答案为:
1
2
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