三角形ABC中,角C=90度,角B=45度,AB=AC+CD,求证：AD平分角BAC.

题目

三角形ABC中,角C=90度,角B=45度,AB=AC+CD,求证：AD平分角BAC.

答案

证：
由已知∠C=90°,∠B=45°,可得 ∠BAC=∠B=45°,AC=BC
设AC=BC=a,则AB=√2a
过D点,作DE⊥AB,交AB于E点,则
∠BDE=∠B=45°,DE=BE=√2BD,
设CD=x,则BD=BC-CD=a-x
DE=BE=BD/√2=（a-x）/√2
AE=AB-BE=√2a-（a-x）/√2=（a+x）/√2
已知AB=AC+CD,即√2a=a+x,
AE=（a+x）/√2=√2a/√2=a=AC
CD=√(AD^2-AC^2)=√(AD^2-AE^2)=DE
在RT△ACD和RT△AED中,AD=AD,AC=AE,CD=DE
RT△ACD≌RT△AED
∴∠CAD=∠EAD
即AD平分角BAC