圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为25.(1)求圆C的方程;(2)是否存在斜率为1的直线l,使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出l的方
题目
圆C的半径为3,圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为
2.
(1)求圆C的方程;
(2)是否存在斜率为1的直线l,使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
答案
(1)如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为
2可得圆心到x轴的距离为2
∴C(1,-2)
∴圆C的方程是(x-1)
2+(y+2)
2=9--(4分)
(2)设L的方程y=x+b,以AB为直径的圆过原点,则
OA⊥OB,设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则
x
1x
2+y
1y
2=0 ①---------------(6分)
由
得2x
2+(2b+2)x+(b
2+4b-4)=0----------(8分)
要使方程有两个相异实根,则
△=(2+2b)
2-4×2(b
2+4b-4)>0 即
-3-3<b<
3-3---------(9分)
x1+x2=-1-b,x1x2=---------------------------(10分)
由y
1=x
1+b,y
2=x
2+b,代入x
1x
2+y
1y
2=0,得2x
1x
2+(x
1+x
2)b+b
2=0-------(12分)
即有b
2+3b-4=0,b=-4,b=1---------------------------------(13分)
故存在直线L满足条件,且方程为y=x-4或y=x+1----------------------(14分)
(1)由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方,x轴被圆C截得的弦长为
2可得圆心到x轴的距离为1,则可知C(1,-2),从而可得圆C的方程
(2)设L的方程y=x+b,以AB为直径的圆过原点,则OA⊥OB,设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),则x
1x
2+y
1y
2=0,联立直线方程与圆的方程,由△=(2+2b)
2-4×2(b
2+4b-4)>0 可得
−3−3<b<
3−3,由方程的根与系数的关系代入x
1x
2+y
1y
2=0,可求b,从而可求直线方程
直线和圆的方程的应用.
本题主要考查了直线与圆相交关系的应用,方程的根与系数关系的应用,属于基本知识的综合应用.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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