已知定义在区间（0,正无穷）上的函数f(x)满足 1/ f(x)不恒为零 2/ 对任意实数x,q,都有 f(x^q)=qf(x)

题目

已知定义在区间（0,正无穷）上的函数f(x)满足 1/ f(x)不恒为零 2/ 对任意实数x,q,都有 f(x^q)=qf(x)
求1 f(1)的值
2 求证 方程 f(x)=0只有一个实根
3 若a>b>c>1,且a+c=2b,求证f(a)f(c)

答案

1、取x=1,q＝2,易得f(1)=0.
2、若还有一个根,设为a,则a不为1,由指数函数的值域是（0,+无穷）知对任意的y>0,存在x使得a^x=y,于是f(y)=f(a^x)=xf(a)=0,故f为零函数.矛盾.
3、要证不等式为f(e^(lna))f(e^(lnc))根号下(lna*lnc),平方得(lnb)^2>(lna)*(lnc)