利用单调有界收敛准则,证明：数列x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, .）存在极限,并求出极限值

题目

利用单调有界收敛准则,证明：数列x1＝2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, .）存在极限,并求出极限值

答案

由归纳法x1=√2＜2,设xn＜2,则x(n+1)=√2+xn＜√(2+2)=2,∴0＜xn＜2,xn有界.∵x(n+1)=√(2+xn)＞√(2xn)=√2*√xn＞√xn*√xn=xn,∴xn有界,∴xn有极限a,在x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1舍)....