已知椭圆G：x²/4+y²,过点（m,0) 作圆 x²+y²=1 的切线 L 交椭圆于A.B 两点.

题目

已知椭圆G：x²/4+y²,过点（m,0) 作圆 x²+y²=1 的切线 L 交椭圆于A.B 两点.
写出 lABl 关于m的函数,并求 lABl 的最大值

答案

显然AB不会是x轴（否则无法与圆相切）所以可设AB:x=ty+m 因与圆相切 故到原点距离为1
故d=|m|/(t^2+1)^(1/2)=1 m^2=t^2+1 *
AB与椭圆方程联立 (t^2+4)y^2+2mty+m^2-4=0 **
利用韦达定理 (y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=(16t^2-16m^2+64)/(t^2+4)^2
然后|AB|=[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]^(1/2)=[(t^2+1)(y1-y2)^2]^(1/2)
*式提供m和t的关系可以带入计算 **式提供利用判别式求出t的取值范围
仅提供思路