设f(x)是定义在(-∞,∞)上的周期为T的连续函数,试证明:对任意的常数a,都有∫〈上限a T下限a〉f(x)dx=∫〈上限T下限0〉f(x)d(x)成立.
题目
设f(x)是定义在(-∞,∞)上的周期为T的连续函数,试证明:对任意的常数a,都有∫〈上限a T下限a〉f(x)dx=∫〈上限T下限0〉f(x)d(x)成立.
答案
看 ∫ [T,a+T] f﹙x﹚dx
令y=x-T.∫ [T,a+T] f﹙x﹚dx= ∫ [0,a] f﹙y﹚dy=∫ [0,a] f﹙x﹚dx
∫ [a,a+T] =∫ [a,0] +∫[0,T] +∫ [T,a+T]
=∫ [a,0] +∫[0,T] +∫ [0,a]
=∫[0,T]
举一反三
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