已知平行四边形ABCD,AC、BD为对角线,求证:AC2+BD2=2(AB2+BC2).
题目
已知平行四边形ABCD,AC、BD为对角线,求证:AC2+BD2=2(AB2+BC2).
答案
证明:作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,
则∠AEB=∠DFC=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCF,
在△ABE和△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(AAS),
∴AE=DF,BE=CF.
在Rt△ACE和Rt△BDF中,由勾股定理,得
AC
2=AE
2+EC
2=AE
2+(BC-BE)
2,
BD
2=DF
2+BF
2=DF
2+(BC+CF)
2=AE
2+(BC+BE)
2,
∴AC
2+BD
2=2AE
2+2BC
2+2BE
2=2(AE
2+BE
2)+2BC
2.
又∵AE
2+BE
2=AB
2,
∴AC
2+BD
2=2(AB
2+BC
2).
作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,再根据四边形ABCD是平行四边形,求证△ABE≌△DCF,得出AE=DF,BE=CF,由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2,BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=AE2+(BC+BE)2,所以AC2+BD2=2(AB2+BC2).
平行四边形的性质.
此题主要考查学生对勾股定理、平行四边形的性质和全等三角形的性质的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,综合性很强,有一定的拔高难度,属于难题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点
- 对霍金的话:“我的手指还能活动……”的理解
- 总功率为6千瓦的家用电器,应使用多大的空气开关?
- 土山关公三约事.救白马解曹重围
- 近三年来地球环境变化与我们的生活
- 自耦变压器铁芯上只绕有一个线圈,原、副线圈都只取该线圈的某部分,
- 甲乙,两水池分别蓄水180吨,108吨,从甲池流多少到乙地,才能使乙池的水是甲池的8倍?
- 一个长方体,如果它的长增加2厘米,体积就增加20立方厘米;如果宽增加3厘米,体积就增加60立方厘米;如果高增加5厘米,体积就增加40立方厘米.请回答:原来这个长方体的表面积是_平方
- 小学英语题解答100分
- 文言文.关于终不知车的习题.
- 一些大米和小米,大米占60%,如果运出大米的1/10,运来小米70千克,则大米等于小米,原来大米小米各多少?