已知中心在坐标原点O的椭圆C讲过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点 (1)求椭圆C的方程(2)是否存在直线l：y=…

题目

已知中心在坐标原点O的椭圆C讲过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点 (1)求椭圆C的方程(2)是否存在直线l：y=…
（2）问是否存在直线l：y=3x/2+t,使直线l与椭圆C有公共点,且原点到直线l的距离为4?若存在,求出l的方程；若不存在,说明理由

答案

（1）设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 ,则
a^2-b^2=4 ,----------①
4/a^2+9/b^2=1 ,----------②
由以上两式可解得 a^2=16,b^2=12 ,
因此椭圆的方程为 x^2/16+y^2/12=1 .
（2）当原点到直线 y=3x/2+t 的距离为 4 时,有 |t|/√(1+9/4)=4 ,
解得 t=±2√13 ,
两方程联立消去 y 得 x^2/16+(3x/2±2√13)^2/12=1 ,
化简得 12x^2±24√3*x+160=0 ,
判别式=1728-7680