一道数学第一类曲面积分题

题目

一道数学第一类曲面积分题
求面x^2 + y^2 + z^2 = a^2 被柱面x^2 + y^2 = ax 截下部分的面积

答案

面积=∫∫√[1+(z'x)²+(z'y)² dxdy
其中z'x = -x/z,z'y = -y/z
√[1+(z'x)²+(z'y)² = |a/z|
现在分析被积区域的取值范围
先考虑z>0部分,余下的z0部分面积一样
交线在平面z=0的投影是x²+y²=ax,写成极坐标就是r = acost
其中r的取值范围是(0,a),t的取值范围是(-π/2,π/2)
而z =√(a²-x²-y²) = √(a²-r²)
面积(z>0) = ∫∫(a/z)dxdy = ∫(-π/2,π/2)dt∫(0,acost)[a/√(a²-r²)]rdr
= ∫(-π/2,π/2)dt * a²(1-|sint|) = a²(t+cost)|(0,π/2) + a²(t-cost)|(-π/2,0) = a²(π-2)
所以总面积为(2π-4)a²