不定积分啊!设F(x)=∫ sin x/(asinx+bcosx) dx G(x)=∫ cosx/(asinx+bcosx) dx. 求aF(x)+bG(x)

题目

不定积分啊!设F(x)=∫ sin x/(asinx+bcosx) dx G(x)=∫ cosx/(asinx+bcosx) dx. 求aF(x)+bG(x)
求aF(x)+bG(x); aG(x)-bF(x); F(x); G(x)

答案

aF(x)+bG(x)=∫ (asinx+bcosx)/(asinx+bcosx) dx
=∫ 1 dx
=x + C1 (1)
aG(x)-bF(x)=∫ (acosx-bsinx)/(asinx+bcosx) dx
=∫ 1/(asinx+bcosx) d(asinx+bcosx)
=ln|asinx+bcosx| + C2 (2)
b×(1)+a×(2)得：
(a²+b²)G(x)=bx + aln|asinx+bcosx| + bC1 + aC2
得：G(x)=[bx + aln|asinx+bcosx|]/(a²+b²) + C3
a×(1)-b×(2)得：
(a²+b²)F(x)=ax - bln|asinx+bcosx| + bC1 + aC2
得：F(x)=[ax - bln|asinx+bcosx|]/(a²+b²) + C4
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