在曲线y=x2（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为1/12．试求切点A的坐标及过切点A的切线方程．

题目

在曲线y=x²（x≥0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为

1

12

答案

如图所示，设切点A（x₀，y₀），
由y′=2x，得过点A的切线方程为
y-y₀=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²．
令y=0，得x=

x0

2

，即C（

x0

2

，0）．
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S．
S_{曲边三角形AOB}=∫x₀₀x²dx=

1

3

x^3|x₀₀=

1

3

x₀³，
S_△ABC=

1

2

|BC|•|AB|=

1

2

（x₀-

x0

2

）•x₀²=

1

4

x₀³．
∴S=

1

3

x₀³-

1

4

x₀³=

1

12

x₀³=

1

12

．
∴x₀=1，从而切点A的坐标为（1，1），切线方程为y=2x-1．