复变函数中的欧拉公式定义域

题目

复变函数中的欧拉公式定义域
1、
欧拉公式中e^(ix)=cosx+isinx,这里的X是只能取实数不能取负数吗?
*2、计算sin i
正解： 在复变函数中 sinZ=[e^(iZ)-e(-iZ)]/(2i) 带入Z=i 则
sin i=[e^(-1)-e]/(2i)=i*[e-e^(-1)]/2
错误解： (IM Z 表示对Z求虚部) sinZ= IM (cosZ +isinZ)=IM [e^(iz)]
则sin i=IM [e^(i*i)]= IM e^(-1)=0
请问这个错误解到底错在哪里 是因为 sinZ=IM [e^(iz)]是错的吗?因为这里欧拉公式要求Z为实数?
还有sinZ=[e^(iZ)-e(-iZ)]/(2i) 的证明是将等号右边的算式用欧拉公式展开还是将右边用
Taylor级数展开证明?因为sin Z 的Z可以取虚数, 如果是用欧拉公式展开,那公式里的Z也是虚数,那么也就是说欧拉公式的中的Z是复数范围内的.
麻烦告知一下错误解到底错在哪里

答案

(IM Z 表示对Z求虚部)
sinZ= IM (cosZ +isinZ)=IM [e^(iz)]
=> Z 是复数,所以 cosZ,sinZ 都是复数; 要取那个虚部
则sin i=IM [e^(i*i)]= IM e^(-1)=0
=> 函数要求解后才代入数值; 哪能代入后再求解