由直线y=kx+2x-1和直线 y=(k+1)x+2k+1(k是正整数)与x轴及y轴所围成的图形面积为S.

题目

由直线y=kx+2x-1和直线 y=(k+1)x+2k+1(k是正整数)与x轴及y轴所围成的图形面积为S.
则S的最小值为_______

答案

7/4解析：
y=kx+2k-1恒过(-2,-1),
y=(k+1)x+2k+1也恒过(-2,-1),
k为正整数,那么,k≥1,且k∈Z
画出图形,
直线y=kx+2k-1与X轴的交点是A[-(2k-1)/k,0],与y轴的交点是B[0,2k-1]
直线y=(k+1)x+2k+1与X轴的交点是C[-(2k+1)/(k+1),0],与y轴的交点是D[0,2k+1],
那么,
S(四边形ABCD)
=S(△COD)-S(△AOB)
=1/2[OC*OD-OA*OB]
=1/2[(2K+1)²/(k+1)-(2k-1)²/k]
=1/2[4-1/(k²+k)]
=2-1/(2k²+2k)
又,k≥1,且k∈Z,
那么,2-1/(2k²+2k)在定义域k≥1上是增函数,
因此,当k=1时,四边形ABCD的面积最小,
最小值S(mix)=2-1/4=7/4.