在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O， ①BO与OD的长度有什么关系？请证明． ②BC边上的中线是否一定过点O？为什么？

题目

在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，

①BO与OD的长度有什么关系？请证明．
②BC边上的中线是否一定过点O？为什么？

答案

①BO=2OD．理由如下：
连接DE．
∵BD、CE是边AC、AB上的中线，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC．
∴△ODE∽△OBC，
∴

OB

OD

＝

BC

DE

，
即BO=2OD．
②BC边上的中线一定过点O，
理由是：作BC边上的中线AF，交BD于M，连接DF，
∵BD、AF是边AC、BC上的中线，
∴DF∥BA，DF=

1

2

BA．
∴△MDF∽△MBA，
∴

DM

BM

=

FM

AM

=

DF

AB

=

1

2

，
即BD=3DM，
∵BO=

2

3

BD，
∴O和M重合，
即BC边上的中线一定过点O．