设f(x)为连续函数,且∫(1,x)f(t)dt=xf(x)+x²,f(1)=-1,求f(x).注：∫(1,x)为从1到x的积分.

题目

设f(x)为连续函数,且∫(1,x)f(t)dt=xf(x)+x²,f(1)=-1,求f(x).注：∫(1,x)为从1到x的积分.

答案

答：
∫(1,x)f(t)dt=xf(x)+x²
∫f(t)dt=xf(x)+x²+C
求导得：
f(x)=f(x)+xf'(x)+2x
f'(x)=-2
f(x)=-2x+C
f(1)=-2+C=-1
C=1
所以：
f(x)=-2x+1