导数题： f(x)=(Ln(x-1)/(x+1))   求此函数的2009阶导数在x=0处的值.即求f^(20...

题目

导数题： f(x)=(Ln(x-1)/(x+1))   求此函数的2009阶导数在x=0处的值.即求f^(20...
导数题： f(x)=(Ln(x-1)/(x+1))   求此函数的2009阶导数在x=0处的值.即求f^(2009)(0)

答案

f(x)=Ln(x-1)/(x+1)=ln(1-x)-ln(1+x)
f'(x)=1/(x-1)-1/(1+x)
f''(X)=-1/(x-1)^2+1/(x+1)^2
f'''(x)=2/(x-1)^3-2/(x+1)^3
归纳可知
f^(n)(x)=[(-1)^(n-1)](n-1)!/(x-1)^n+[(-1)^n](n-1)!/(x+1)^n
于是f^(2009)(0)=(-1)^2008(2008!)/(-1)^2009+(-1)^2009(2008!)
=-2008!-2008!=-2*2008!.