求函数z=x2+y2+1在约束条件x+y-3=0下的极值．

题目

求函数z=x²+y²+1在约束条件x+y-3=0下的极值．

答案

利用拉格朗日乘数法求条件极值，
令L（x，y，λ）=x²+y²+1+λ（x+y-3）
得方程组   

L′x＝2x+λ＝0 L′y＝2y+λ＝0 L′λ＝x+y−3＝0

解之得：x＝y＝

3

2

，
由题意知：当x＝y＝

3

2

时，z可能取到极值

11

2

．
再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x²+（x-3）²+1，
F′（

3

2

）=0，且F″(

3

2

)＞0，
故函数z取得极小值为z（

3

2

，

3

2

）=

11

2

．

利用拉格朗日乘数法求条件极值．

本题考点：求函数的极值点．

考点点评：本题考察拉格朗日乘数法求条件极值．