大学微积分 证明近似公式

题目

大学微积分 证明近似公式
证明近似公式(a^n+x)^(1/n)≈a+x/[na^(n-1)] 其中|x|

答案

利用一阶导数的近似公式计算：f(x))≈f(x0)+f'(x0)(x-x0),不过这个计算的前提条件是x很接近于x0.对于上式而言,我们取x0=0,则f(x))≈f(0)+f'(0)x,f(0)=a,f'(0)=a/na^n=1/[na^(n-1)] ,显然代入即得要证明的公式 ,需要记住的条件就是|x|近于0时,更精确,务必要注意这一点
对于第一个求值,式子必须要转化为x近于0,29^(1/3)=3[1+(2/27)]^(1/3),这个式子中,x=2/27趋于零,a=1,1的任何次幂都是1,这样就满足近似的条件了,代入直接求出：3.074
第二个同样需要化简,注意到2^10=1024,所以原式=2[1-（24/1024)]^(1/10),同样,x=24/1024,a=1,满足x近于0的条件,代入=2（1-0.00234）=1.995
此题的难度在于如何求近似值,关键是要通过转化满足公式的使用条件,否则如果|x|较大,甚至大于1,则近似值可能存在较大误差