已知直线L过点P(2.1)且与抛物线y^2=2x交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程

题目

已知直线L过点P(2.1)且与抛物线y^2=2x交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程

答案

设中点M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)
(1) 当x1=x2时,则由于L过P(2,1),得x1=x2=2,从而y1,y2互为相反数,中点为(2,0)
(2) 当x1≠2时,有　y1²=2x1,y2²=2x2
相减,得(y2-y1)(y1+y2)=2(x2-x1),即
AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=2/(y1+y2)=1/y
而AB的斜率就是MP的斜率k=(y-1)/(x-2),
从而　1/y=(y-1)/(x-2)
整理,得y²-x-y+2=0
将(2,0)代入,成立,
从而线段AB的中点M的轨迹方程为y²-x-y+2=0