(文科)已知函数f(x)=1/3ax3+bx2+2x−1,g(x)=−x2+x+1,若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的一个公共点P的横坐标为1,且两曲线在点P处的切线互相垂直. (1)求实数a
题目
(文科)已知函数
f(x)=ax3+bx2+2x−1,g(x)=−x2+x+1,若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的一个公共点P的横坐标为1,且两曲线在点P处的切线互相垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)对任意x
1,x
2∈[-1,1],不等式f(x
1)+k<g(x
2)恒成立,求实数k的取值范围.
答案
(文科) (1)∵
g(1)=1=f(1)=a+b+1⇒a+3b=0.
又g'(x)=-2x+1,∴g'(1)=-1.
∵两双曲线在点P处的切线互相垂直,
∴f'(1)=1.
∵f'(x)=ax
2+2bx+2,
∴f'(1)=a+2b+2=1,
∴
⇒a=-3,b=1.
(2)∵f(x)=-x
3+x
2+2x-1
对任意的x
1,x
2∈[-1,1],f(x
1)+k<g(x
2)恒成立,
∴f(x)
max+k<g(x)
min(x∈[-1,1]),
∵f'(x)=-3x
2+2x+2,
则f'(x)>0得
<x<
,
∴函数f(x)在
[-1,]上递减,在
[,1]上递增
而f(-1)=-1,f(1)=1,
∴f(x)
max=f(1)=1,
而
g(x)=-x2+x+1=-(x-)2+当x∈[-1,1]时,g(x)
min=g(-1)=1
故1+k<-1,
k<-2,
∴实数k的取值范围是(-∞,-2).
(1)由
g(1)=1=f(1)=a+b+1⇒a+3b=0.知g'(x)=-2x+1,g'(1)=-1.由两双曲线在点P处的切线互相垂直,知f'(1)=1.由此能求出实数a,b的值.
(2)由f(x)=-x
3+x
2+2x-1,对任意的x
1,x
2∈[-1,1],f(x
1)+k<g(x
2)恒成立,知f(x)
max+k<g(x)
min(x∈[-1,1]),由f'(x)=-3x
2+2x+2,知函数f(x)在
[−1,]上递减,在
[,1]上递增.由此能求出实数k的取值范围.
导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用,考查运算求解能力,考查论证推理能力,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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