关于完全平方数

题目

关于完全平方数
有一对四位数,其首末数字之和不大于4,其中一个数的首末两数字对调就是另一个数,试求符合上述条件且其和为平方数的这种数对

答案

为了方便计算,中间两位数字设为b,这个四位数可以写成
1000a+10b+c
对调后
1000c+10b+a
两数相加M=1001(a+c)+20b
下面进行讨论
1、当a+c=2时,
M=2002+20b
b=(M-2002)/20
b为整数,所以M末位必为2
而正整数的平方末位不可能是2,排除.
2、当a+c=3时,
b=(M-3003)/20
同样的,正整数的平方末位不可能是3,排除.
3、当a+c=4时
b=(M-4004)/20
末位为2或8的数平方后末位为4
而M=4004+20b
400463.2<根号M<77.3
63.2到77.3之间末位为2或8的数字有68、72
将这两个数代入,
M=68^2=4624,b=31,a+c=4,符合条件的数对有
1313、3311
2312、2312
M=72^2=5184,b=59,a+c=4,符合条件的数对有
1593、3591
2593、2593
所有的数对：
1313、3311
2312、2312
1593、3591
2593、2593