如图，AH是△ABC的高，四边形ABDE和ACFG都是正方形，HA的延长线交EG于点M． 求证：EM=GM．

题目

如图，AH是△ABC的高，四边形ABDE和ACFG都是正方形，HA的延长线交EG于点M．
求证：EM=GM．

答案

证明：过点E作EN⊥HM于点N，过点G作GP⊥HM的延长线于点P，
∴∠ENM=∠GPM=90°．
∵四边形ABDE和ACFG都是正方形，
∴AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠EAN+∠BAH=90°，∠GAP+∠CAH=90°．
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∴∠ENA=∠AHB，∠GMA=∠AHC．
∠ABH+∠BAH=90°，∠CAH+∠HCA=90°，
∴∠EAN=∠ABH，∠GAP=∠HCA．
在△ENA和△AHB中，

∠ENA＝∠AHB ∠EAN＝∠ABH AE＝AB

，
△ENA≌△AHB（AAS），
∴EN=AH．
在△GPA和△AHC中

∠GMA＝∠AHC ∠GAP＝∠HCA AG＝AC

，
△GPA≌△AHC （AAS），
∴PG=AH，
∴EN=GP．
在△ENM和△GPM中

∠ENM＝∠GPM ∠EMN＝∠GMP EN＝GP

，
∴△ENM≌△GPM（AAS），
∴EM=GM．

过点E作EN⊥HM于点N，过点G作GP⊥HM与点P，由条件可以证明△AHB≌△ENA，△GPA≌△AHC，就可以得出EN=MG，再证明△ENM≌△GPM，就可以得出结论．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EN⊥HM于点N，GP⊥HM延长线于点P是难点，运用全等三角形的性质是关键．