x^2/a-x=lnx有唯一解实数a的取值范围

题目

x^2/a-x=lnx有唯一解实数a的取值范围

答案

设f(x)=x²/a -x -lnx （x＞0）
x²/a -x -lnx=0有唯一解即
即f（x）在（0,∞）上单调
f(x)′=2x/a -1 - 1/x=(2x²-ax-a)/ax （0,∞）上恒＞0或恒＜0
所以对2x²-ax-a 必须△=a²+8a≤0恒成立（a≠0）
即 -8 ≤ a＜0
对f（x）′=(2x²-ax-a)/ax,因为△＜0,所以2x²-ax-a恒＞0
因为a＜0,当x＞0时,f（x）′=(2x²-ax-a)/ax＜0恒成立
即f（x）在（0,∞）上单调递减
又因为x→+0时（lnx→-∞）,f（x）→+∞＞0,当f（1）=1/a -1＜0
所以f（x)=0存在唯一零解
综上 -8≤a＜0