Rt三角形ABC,角A=90度,AB水平方向,C在AB水平上方,在AB水平下方做等边三角形ABD,连接CD,角ACD是角DCB的1/2,求角ABC.

题目

Rt三角形ABC,角A=90度,AB水平方向,C在AB水平上方,在AB水平下方做等边三角形ABD,连接CD,角ACD是角DCB的1/2,求角ABC.

答案

设等边三角形ABD边长为m,∠ACD=α,则∠BCD=2α,∠ABC=90°-3α,∠CBD=150°-3α.
⊿ACD中,sin∠ACD/AD=sin∠CAD/CD,即:sinα/m=sin150°/CD;-------------------(1)
⊿BCD中,sin∠BCD/BD=sin∠CBD/CD,即:sin2α/m=sin(150°-3α)/CD.----------(2)
(1)÷(2),得:sinα/sin2α=sin150°/sin(150°-3α);
即:sinα/(2sinα*cosα)=0.5/sin(150°-3α);
1/(2cosα)=0.5/sin(150°-3α);
sin(150°-3α)=cosα=sin(90°-a).
则:150°-3α=90°-α或150°-3α=180°-(90°-α).
解之得:α=30°或15°.(α=30°时,∠BCD=3α=90°,不合题意,舍去)
所以,α=15°,∠ABC=90°-3α=45°.