证明:如果η1,η2.ηn是R^n的一组标准正交基,A为n阶正交矩阵,则Aη1,Aη2……Aηn也是一组标准正交基

题目

证明:如果η1,η2.ηn是R^n的一组标准正交基,A为n阶正交矩阵,则Aη1,Aη2……Aηn也是一组标准正交基

答案

B=[Ae1 Ae2 ...Aen]=A[e1 e2 ...en]=AE,其中E是由e1,...,en构成的正交阵,只需证明B是正交阵,则B的列向量就是一组标准正交基.B^TB=E^TA^TAE=E^TE＝I（单位阵）,故B是正交阵