数列an前n项和sn,已知a1=1,a(n+1)=(n+2)/n*sn（n=1,2,3...)证明sn/n等比,S(n+1)=4an

题目

数列an前n项和sn,已知a1=1,a(n+1)=(n+2)/n*sn（n=1,2,3...)证明sn/n等比,S(n+1)=4an

答案

s(n+1)-sn=(n+2)/n*sn
s(n+1)/n+1=2sn/n
所以sn/n是等比数列,公比为2,首项为1
所以s(n+1)/n+1=1*2^n 即s(n+1)=(n+1)*2^n=4(n+1)*2^(n-2)
同理sn=n*2^(n-1)=2n*2^(n-2),s(n-1)=(n-1)*2^n-2
an=sn-s(n-1)=(n+1)*2^(n-2)
所以s(n+1)=4an