在直角坐标系中，坐标原点为O，已知A（-2，4），B（4，2）． （1）求△AOB的面积； （2）在x轴上找点P，使PA+PB的值最小，求P点的坐标．

题目

在直角坐标系中，坐标原点为O，已知A（-2，4），B（4，2）．
（1）求△AOB的面积；
（2）在x轴上找点P，使PA+PB的值最小，求P点的坐标．

答案

（1）分别过A、B作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别C、D．（1分）
∴AC=4，BD=2，CD=6．（2分）
∴S_△AOB=S_梯形ACDB-S_△AOC-S_△BOD
=

1

2

×（4+2）×6-

1

2

×2×4-

1

2

×4×2=10．（4分）
（2）作出B点关于x轴对称的点E（4，-2），连接AE交x轴于P．（6分）
设直线AE的解析式为 y=kx+b．
∵A（-2，4），E（4，-2），
∴

4＝−2k+b −2＝4k+b

．
解得

k＝−1 b＝2

．
∴直线AE的解析式为y=-x+2．（7分）
当y=0时，得x=2．
∴P（-2，0）．（8分）

画图分析．
（1）作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别C、D．S_△AOB=S_梯形ACDB-S_△AOC-S_△BOD；
也可通过证明△AOC≌△BOD，证明△AOB为等腰直角三角形，应用面积公式计算．
（2）作其中一点关于x轴的对称点，并与另一点连接起来，与x轴的交点即是满足条件的P点．

本题考点：一次函数综合题；轴对称-最短路线问题．

考点点评：此题考查一次函数及其图象的应用和线路最短问题，综合性强，难度较大．