如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,AD与BC相交于点E,AE=1/2ED,延长DB到点F,使FB=1/2BD,连接AF. (1)证明:△BDE∽△FDA;(2)试判断直线AF与⊙O的位置关系
题目
如图,点A,B,C,D在⊙O上,AB=AC,AD与BC相交于点E,AE=
ED,延长DB到点F,使FB=
BD,连接AF.
(1)证明:△BDE∽△FDA;
(2)试判断直线AF与⊙O的位置关系,并给出证明.
答案
证明:(1)在△BDE和△FDA中,
∵FB=
BD,AE=
ED,AD=AE+ED,FD=FB+BD
∴
==,
又∵∠BDE=∠FDA,
∴△BDE∽△FDA.
(2)直线AF与⊙O相切.
证明:连接OA,OB,OC,
∵AB=AC,BO=CO,OA=OA,
∴△OAB≌△OAC,
∴∠OAB=∠OAC,
∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线,
∴
=
,
∴AO⊥BC,
∵△BDE∽△FDA,得∠EBD=∠AFD,
∴BE∥FA,
∵AO⊥BE,AO⊥FA,
∴直线AF与⊙O相切.
(1)因为∠BDE公共,夹此角的两边BD:DF=ED:AD=2:3,由相似三角形的判定,可知△BDE∽△FDA.
(2)连接OA、OB、OC,证明△OAB≌△OAC,得出AO⊥BC.再由△BDE∽△FDA,得出∠EBD=∠AFD,则BE∥FA,从而AO⊥FA,得出直线AF与⊙O相切.
切线的判定;三角形的角平分线、中线和高;相似三角形的判定与性质.
本题考查相似三角形的判定和切线的判定.
举一反三
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