X为高斯随机变量,E[XXX]=?

题目

X为高斯随机变量,E[XXX]=?
X为高斯随机变量,E[X]=0,D[X]=σ^2,那么E[XXX]=?,E[XXXX]=?
在一个地方看到的结论是
E[X^n]=1*3*5*……*(n-1)*σ^2,当n为偶数
E[X^n]=0,当n为偶数

答案

结论第二行是当n为奇数吧...
应该是对的
方便起见,记方差为d
X的概率密度函数是
f(x)=exp{-x^2/2d^2}/2pai^(1/2)
E(X^n)=x^n*f(x)从负无穷到正无穷积分
当n为奇数时,上面函数为奇函数,积分值为0
当n为偶数时,由积分的变量替换及分布积分容易验证结论第一行