方程 =f(xy)经变换xy=u可化为变量分离方程,解方程y(1+x2y2)dx=xdy请写出详细解答过程.

题目

方程 =f(xy)经变换xy=u可化为变量分离方程,解方程y(1+x2y2)dx=xdy请写出详细解答过程.
方程 =f(xy)经变换xy=u可化为变量分离方程,解方程y(1+x^2y^2)dx=xdy请写出详细解答过程.
方程(x/y)(dx/dy)=f(xy)
经变换xy=u可化为变量分离方程，解方程y(1+x2y2)dx=xdy请写出详细解答过程。

答案

y(1+x2y2)dx=xdy
设xy=u,则y=u/x,dy=d(u/x)=(xdu-udx)/x^2
方程化为
u/x(1+u^2)dx=x*(xdu-udx)/x^2
化简得
u(1+u^2)dx=xdu-udx
这是可分离变量的微分方程
du/(2u+u^3)=dx/x
积分得
1/2*ln(u)-1/4*ln(2+u^2)=lnx+lnc
整理得
u^2/(2+u^2)=C*x^4