在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，试确定△ABC的形状．

题目

在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，试确定△ABC的形状．

答案

由三角形的内角和公式可得，2cosAsinB=sinC=sin（A+B）
∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA
∴sinAcosB-sinBcosA=0，
∴sin（A-B）=0，∴A=B
∵（a+b+c）（a+b-c）=3ab
∴（a+b）²-c²=3ab
即a²+b²-c²=ab
由余弦定理可得cosC=

a2+b2−c2

2ab

=

1

2

∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，∴A=B=C=

π

3

故△ABC为等边三角形

由已知2cosAsinB=sinC=sin（A+B），结合和差角公式可求得A=B，由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，可得a²+b²-c²=ab，利用余弦定理可得C，从而可判断三角形的形状．

本题考点：三角形的形状判断．

考点点评：本题考查两角和与差的三角公式及余弦定理解三角形，解题的关键是熟练掌握三角基本公式．