已知f(x)=2sin⁴x+2cos⁴x+2cos²2x-3

题目

已知f(x)=2sin⁴x+2cos⁴x+2cos²2x-3
(1)求函数f(X)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在闭区间[π/16,3π/16]上的最小值及取得最小值时x的取值范围.

答案

f(x)=2(sin²x+cos²x)²-4sin²xcos²x+cos²2x-3
=2×1²-sin²2x+cos²2x-3
=cos²2x-sin²2x-1
=cos4x-1
(1)函数的最小正周期T=2π/4=π/2
(2)x∈[π/16,3π/16]
4x∈[π/4,3π/4]
∴f(x)=cos4x-1在[π/16,3π/16]是减函数
当x=3π/16时
f(x)有最小值f(3π/16)=cos3π/4-1=-√2/2-1
...4sin²xcos²x如何变成sin²2x
sin2x=2sinxcosx
(sin2x)^2=(2sinxcosx)^2=4sin²xcos²x
为什么x∈[π/16,3π/16]
4x∈[π/4,3π/4]
∴f(x)=cos4x-1在[π/16,3π/16]是减函数
x∈[π/16,3π/16]是已知条件,乘4就得到
4x∈[π/4,3π/4]
cos4x的最小正周期前面已经得到,是π/2,由此可以得到cos4x的曲线,由曲线中可以看出cos4x在[π/16,3π/16]是减函数