用基本不等式求最值

题目

用基本不等式求最值
已知x∈(0,∏/2),求函数f(x)=(1+cox2x+8sinx2)/sin2x的最小值
（sinx2是指sinx的平方）

答案

因x∈(0,∏/2)故0f(x)=(1+cox2x+8sin²x)/sin2x
=(1+2cos²x-1+8sin²x)/2sinxcosx
=（cos²x+4sin²x)/sinxcosx
=cosx/sinx+4sinx/cos
≥2根号下（cosx/sinx乘以4sinx/cos）
=4
当且仅当cosx/sinx=4sinx/cos
即cos²x=4sin²x
即sinx=√5/5时
有最小值4