直线L经过P(5,5),其斜率为k,L与圆x2+y2=25相交,交点分别为A,B. (1)若|AB|=45,求k的值; (2)若|AB|<27,求k的取值范围.
题目
直线L经过P(5,5),其斜率为k,L与圆x
2+y
2=25相交,交点分别为A,B.
(1)若
|AB|=4,求k的值;
(2)若
|AB|<2,求k的取值范围.
答案
(1)直线L方程为y-5=k(x-5),即kx-y+5-5k=0,∵圆心(0,0)到直线L的距离d=|5−5k|k2+1,r=5,且|AB|=45,∴|AB|=2r2−d2,即20=25-(5k−5)2k2+1,解得:k=12或k=2;(2)由(1)得|AB|=2r2−d2<27,即25-(5k−...
(1)由P坐标与k表示出直线L,表示出圆心到直线L的距离d,由d与r表示出弦长|AB|,根据已知的弦长即可求出k的值;
(2)由已知弦长的范围列出关于k的不等式,即可求出k的范围.
直线与圆相交的性质.
此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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