关于相似三角形的题
题目
关于相似三角形的题
如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:AB*AF=CB*CD
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点.设DP=x(cm)(x>0),四边形BCDP的面积为y(cm).
①求y关于x的函数关系式
②当x为何值时,△PBC的周长最小,求出y.
答案
证明:(1)∵AD=CD,DE⊥AC,
∴DE垂直平分AC,
∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF.
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,
∴∠DCF=∠DAF=∠B.
在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B,
∴△DCF∽△ABC.
∴ CD/AB=CF/CB,即 CD/AB=AF/CB.
∴AB•AF=CB•CD.
(2)①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴AC= 12 (勾股定理)
∴CF=AF=6
∴ y=12(x+9)×6=3x+27(x>0)
②∵BC=9(定值),
∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.
由(1)可知,点C关于直线DE的对称点是点A,
∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.
此时DP=DE,PB+PA=AB.
由(1),∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,
△DAF∽△ABC.
EF∥BC,得AE=BE= 1/2AB= 15/2,
EF= 9/2.
∴AF:BC=AD:AB,即6:9=AD:5.
∴AD=10.
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,
∴DF=8.
∴DE=DF+FE=8+ 9/2= 25/2.
∴当x= 25/2时,△PBC的周长最小,
此时y= 129/2
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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