在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a-c)cosB. (1)求cosB; (2)若BC•BA=4,b=42,求边a,c的值.
题目
在△ABC中,边a、b、c分别是角A、B、C的对边,且满足bcosC=(3a-c)cosB.
(1)求cosB;
(2)若
•
=4,b=4
,求边a,c的值.
答案
(1)在△ABC中,∵bcosC=(3a-c)cosB,由正弦定理可得 sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB,
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC,化为:3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.
∵在△ABC中,sinA≠0,故cosB=
.
(2)由
•
=4,b=4
,可得,a•c•cosB=4,即 ac=12.…①.
再由余弦定理可得 b
2=32=a
2+c
2-2ac•cosB=a
2+c
2-
,即 a
2+c
2=40,…②.
由①②求得a=2,c=6; 或者a=6,c=2.
综上可得,
,或
.
(1)利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值.
(2)由
•
=4 可得 ac=12,再由余弦定理可得 a
2+c
2=40,由此求得边a,c的值.
正弦定理;平面向量数量积的运算;余弦定理.
本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理、余弦定理的运用,考查两角和公式.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于中档题.
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