f(x)在【0,+无穷）上连续,在（0,+无穷）上可微,且f（x）的导数单调递增,f(0)=0,证明：g(x)=f(x)/x在

题目

f(x)在【0,+无穷）上连续,在（0,+无穷）上可微,且f（x）的导数单调递增,f(0)=0,证明：g(x)=f(x)/x在
f(x)在【0，+无穷）上连续，在（0，+无穷）上可微，且f（x）的导数单调递增，f(0)=0,证明：g(x)=f(x)/x在（0，+无穷）上单调递增

答案

∵f（x）的导数单调递增
∴f‘’（x）>0
g'(x)=[xf‘（x)-f(x)]/(x^2)
令F（x)=xf‘（x)-f(x)
则F'(x)=f‘（x)+xf‘'（x)-f'(x)=xf‘'（x)
在（0,+无穷）上F'(x)=xf‘'（x)>0
所以F（x）单调递增
所以F（x）>F(0)=0
在（0,+无穷）上,x^2>0
所以g'(x)=F(x)/(x^2)>0
所以g(x)=f(x)/x在（0,+无穷）上单调递增