已知数列an满足a1=3,ana（n-1）=2a（n-1）-1

题目

已知数列an满足a1=3,ana（n-1）=2a（n-1）-1
求a2,a3,a4
证明数列a（n-1）是等差数列,并写出an的一个通项

答案

∵a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1
∴a[n]=2-1/a[n-1]
∴a[2]=5/3,a[3]=7/5,a[4]=9/7
证明：∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴采用不动点法,令：x=2-1/x
即：x^2-2x+1=0
∴x=1
∵a[n]=2-1/a[n-1]
∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点1】
a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]
两边取倒数,得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)
即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1
∵a[1]=3
∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2,公差为1的等差数列
即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2
∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)
【说明：应该证明：1/(a[n]-1)是等差数列,请楼主仔细校对原题.】