(1^2+2^2+...n^2)/n^3为什么等于n(n+1)(2n+1)/6n^3啊,推导过程是什么 我转不过弯

题目

(1^2+2^2+...n^2)/n^3为什么等于n(n+1)(2n+1)/6n^3啊,推导过程是什么 我转不过弯

答案

由利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 ：
　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
　　.
　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
　　把这n个等式两端分别相加,得：
　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
　　代入上式得：
　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
　　整理后得：
　　1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
∴﹙1^2+2^2+3^2+.+n^2﹚/n^3=n(n+1)(2n+1)/6n ^3