如图所示,平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向内作等边△BCE和等边△CDF.求证:△AEF为等边三角形.
题目
如图所示,平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向内作等边△BCE和等边△CDF.求证:△AEF为等边三角形.
答案
证明:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD.
∵△BCE和△CDF是等边三角形,
∴BE=CE,CF=CD,∠EBC=∠BCE=∠ECD=60°,
∴AB=FC,∠EBA=60°-∠ABC=60°-(180°-∠BCD)=∠BCD-120°=∠ECF,即∠EBA=∠ECF,
∴在△BEA与△CEF中,
,
∴△EBA≌△ECF(SAS),
∴EA=EF,∠BEA=∠CEF,
∴∠BEC=∠BEA+∠AEC=∠CEF+∠AEC=60°,即∠AEF=60°.
∴△AEF是等边三角形.
根据平行四边形的性质和等边三角形的性质得出AB=CD=CF,BE=CE,∠EBA=∠ECF,所以由SAS证△EBA≌△ECF,根据全等三角形的对应边、角相等以及等边三角形的判定证得结论.
平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.
本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质.根据已知条件判定△EBA≌△ECF是解题的关键.此题是根据“有一内角为60度的三角形是等边三角形”证得结论的.
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