试证明：∑（i=1到n）C(n,i)*k^(n-i)*k*i=n*k*(k+1)^(n-1)

题目

试证明：∑（i=1到n）C(n,i)*k^(n-i)*k*i=n*k*(k+1)^(n-1)
RT,求证明过程,要求看得明白

答案

i*C（n,i）=i*n!/(i!*(n-i)!)=n*(n-1)!/((i-1)!*(n-1-(i-1))!)=n*C(n-1,i-1)
所以∑（i=1到n）C(n,i)*k^(n-i)*k*i=∑（i=1到n）n*C(n-1,i-1)*k^(n-i)*k=∑（j=0到n-1）n*C(n-1,j)*k^((n-1)-(i-1))*k=n*k*(k+1)^(n-1)