数列应用题

题目

数列应用题
某县位于沙漠边缘地带,人与自然长期进行顽强斗争,到1998年底全县绿化率已达到30%.从1999年开始每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%改造为绿洲,而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀变为沙漠.
（1）写出1999年起以后任相邻两年年底该县绿化率的关系式；
（2）判断是否成等比数列?为什么?
（3）至少经过多少年的努力才能使全县的绿化率超过60%.

答案

设1999年起以后第n年年底该县绿化率为an（n为下标）,则有
an+(1-an)*(16%)-an*(4%)=a(n+1) （等号右的(n+1)为下标）
化简,得 0.8an+0.16=a(n+1)
此即1999年起后第n年与第（n+1）年的绿化率的关系式.
（2）
显然,不是等比数列,因为a(n+1)与an的比不是定值
（3）
同上,设1999年起以后第n年年底的绿化率为an（1999年年底绿化率为a1）,则有 a1=30%+(1-30%)*16%-30%*4%=40%
an=…{[(a1*0.8+0.16)*0.8+0.16]*0.8+0.16}…
=a1*0.8^(n-1)+0.16*0.8^(n-2)+0.16*0.8^(n-3)+…+0.16*0.8+0.16
=0.4*0.8^(n-1)+0.16*[1+0.8+0.8^2+…+0.8^(n-2)]
=0.4*0.8^n/0.8+0.16*[1-0.8^(n-1)]/(1-0.8)
=0.5*0.8^n+0.8-0.8^n
=0.8-0.5*0.8^n
由题意,an>60%,即0.8-0.5*0.8^n>0.6,得0.8^n4.11时,0.8^n60%
取整数n=5
至少经过5年的努力（到2003年底）才能使全县绿化率超过60%