△ABC的内接矩形DEFG的顶点D、E分别在AB,AC边上,F,G在BC边上,若BC=120,BC边上的高AK=80

题目

△ABC的内接矩形DEFG的顶点D、E分别在AB,AC边上,F,G在BC边上,若BC=120,BC边上的高AK=80
问能否使DEFG的周长刚好等于BC与AK的和?试说明理由

答案

当D为AB中点,E为AC中点时,DEFG的周长刚好等于BC与AK的和.
证明：
∵矩形DEFG
∴DE∥BC,DG∥EF,DG⊥BC,EF⊥BC
∵D为AB中点,E为AC中点
∴DE/BC＝AD/AB＝1/2
∴DE＝BC/2
∵矩形DEFG
∴DE＝FG
∴DE+FG＝BC/2+BC/2＝BC
∵AK⊥BC
∴DG∥AK
∴DG/AK＝BD/AB＝1/2
∴DG＝AK/2
同理EF＝AK/2
∴DG+EF＝AK/2+AK/2＝AK
∴DEFG的周长＝DE+FG+DG+EF＝BC+AK