设f(x)在[0,1]上是单调递减函数 试证明对于任何q属于[0,1]都有不等式∫q/0 f(x)dx≥q∫1/0f(x)dx 求详解

题目

设f(x)在[0,1]上是单调递减函数 试证明对于任何q属于[0,1]都有不等式∫q/0 f(x)dx≥q∫1/0f(x)dx 求详解

答案

∫q/0 f(x)dx=∫1/0 f(qx)dqx=q∫1/0 f(qx)dx
f(x)在[0,1]上是单调递减函数 ,所以对任意q属于[0,1],
0≤qx≤x≤1 有 f(qx)≥f(x)
∫1/0 f(qx)dx≥∫1/0f(x)dx