已知如图，圆锥的底面圆的半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为（　　） A.32r B.332r C.33r D.33r

题目

已知如图，圆锥的底面圆的半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为（　　）
A.

3

2

r
B.

3 3

2

r
C.

3

3

r
D. 3

3

r

答案

由题意知，底面圆的直径为2r，故底面周长等于2rπ，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2rπ=

nπ•3r

180

，
解得n=120，
所以展开图中扇形的圆心角为120°，
∴∠AOA′=120°，
∴∠1=60°，
过C作CF⊥OA，
∵C为OB中点，BO=3r，
∴OC=

3

2

r，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=

3

4

r，
∴CF²=CO²-OF²=

27

16

r²，
∵AO=3r，FO=

3

4

r，
∴AF=

9

4

r，
∴AC²=AF²+FC²=

27

16

r²+

81

16

r²=

27

4

r²，
∴AC=

3 3 r

2

，
故选B．

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

本题考点：平面展开-最短路径问题；弧长的计算；圆锥的计算．

考点点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．