已知∫[0,+∞]x^(-1/2)e^(-x)dx=√π,求I=∫[-∞,∞]x^2e^(-x^2)dx

题目

已知∫[0,+∞]x^(-1/2)e^(-x)dx=√π,求I=∫[-∞,∞]x^2e^(-x^2)dx
要步骤

答案

在已知条件里令x=t^2(t>0)
则∫(0→+∞)e^(-t^2)/t*2tdt=√π
∫(0→+∞)e^(-t^2)dt=√π/2
因为e^(-t^2)是偶函数
所以∫(-∞→+∞)e^(-t^2)dt=∫(-∞→0)e^(-t^2)dt+∫(0→+∞)e^(-t^2)dt=2∫(0→+∞)e^(-t^2)dt=√π
原式=-1/2*∫(-∞→+∞)xe^(-x^2)d(-x^2)
=-1/2*∫(-∞→+∞)xd(e^(-x^2))
=-xe^(-x^2)/2|(-∞→+∞)+1/2*∫(-∞→+∞)e^(-x^2)dx
=0+√π/2
=√π/2