设数列{an}的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1(n∈N*).(Ⅰ)求a1,a2,a3;(Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列;(Ⅲ)求数列{n•an}的前n项和Tn.
题目
设数列{an}的前n项和为Sn,且2an=Sn+2n+1(n∈N*).
(Ⅰ)求a1,a2,a3;
(Ⅱ)求证:数列{an+2}是等比数列;
(Ⅲ)求数列{n•an}的前n项和Tn.
答案
(本小题满分13分)
(I) 由题意,当n=1时,得2a
1=a
1+3,解得a
1=3.
当n=2时,得2a
2=(a
1+a
2)+5,解得a
2=8.
当n=3时,得2a
3=(a
1+a
2+a
3)+7,解得a
3=18.
所以a
1=3,a
2=8,a
3=18为所求.…(3分)
(Ⅱ)证明:因为2a
n=S
n+2n+1,所以有2a
n+1=S
n+1+2n+3成立.
两式相减得:2a
n+1-2a
n=a
n+1+2.
所以a
n+1=2a
n+2(n∈N
*),即a
n+1+2=2(a
n+2).…(5分)
所以数列{a
n+2}是以a
1+2=5为首项,公比为2的等比数列.…(7分)
(Ⅲ) 由(Ⅱ) 得:a
n+2=5×2
n-1,即a
n=5×2
n-1-2(n∈N
*).
则na
n=5n•2
n-1-2n(n∈N
*).…(8分)
设数列{5n•2
n-1}的前n项和为P
n,
则P
n=5×1×2
0+5×2×2
1+5×3×2
2+…+5×(n-1)•2
n-2+5×n•2
n-1,
所以2P
n=5×1×2
1+5×2×2
2+5×3×2
3+…+5(n-1)•2
n-1+5n•2
n,
所以-P
n=5(1+2
1+2
2+…+2
n-1)-5n•2
n,
即P
n=(5n-5)•2
n+5(n∈N
*).…(11分)
所以数列{n•a
n}的前n项和T
n=
(5n-5)•2n+5-2×,
整理得,T
n=(5n-5)•2
n-n
2-n+5(n∈N
*).…(13分)
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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