求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直.
题目
求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直.
答案
设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ,且α∩β=a,β∩γ=b,
γ∩α=c,三个平面的公共点为O,如图所示:
在平面γ内,除点O外,任意取一点M,
过点M作MN⊥c,MP⊥b,M、P为垂足,
则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α,MP⊥β,
∴a⊥MN,a⊥MP,∴a⊥平面γ.
再由b、c在平面γ内,可得a⊥b,a⊥c.
同理可证,c⊥b,c⊥a,从而证得a、b、c互相垂直.
举一反三
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